Princípio da multiplicação
(ou princípio
fundamental da contagem)
Definição:Se um evento é composto de duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na 1ª etapa é m e para cada possibilidade da 1ª etapa o número de possibilidades na 2ª etapa é n, então o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto:
m x n.
Exemplo 1
Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo que há 5 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, de quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre?
Esquematizando:
Note que há 5 possibilidades para viajar de Recife a São Paulo e 4 possibilidades para viajar de São Paulo a Porto Alegre. Desse modo, o total de possibilidades para viajar de Recife a Porto Alegre é:
5 . 4 = 20
Esse é o Princípio Fundamental da Contagem na prática! Agora ficou simples, né?
Exemplo 2
Em um restaurante há 2 tipos de salada, 2 tipos de pratos quentes e 3 tipos de sobremesa. Quais e quantas possibilidades temos para fazer uma refeição com 1 salada, 1 prato quente e 1 sobremesa?
Esquematizando (diagrama de árvore):
Portanto, o número total de possibilidades é 2 . 2 . 3 = 12.
Exercícios Resolvidos:
01- Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, quantos números de 3 algarismos podemos formar?
Resolução:
8 . 8 . 7
Existem 8 algarismos de 0 a 7. Há 7 possibilidades para a centena (0 não é permitido), 8 para a dezena e 8 para a unidade. Portanto, podemos formar 8 . 8 . 7 = 448 números.
02- Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar?
Resolução:
7 . 7 . 6
Com 3 algarismos distintos, há 7 possibilidades para a centena, 7 para a dezena e 6 para a unidade. Portanto, podemos
formar 7 . 7 . 6 = 294 números.
03- Qual é o total de números de três dígitos distintos?
Resolução:
Temos 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. O primeiro dígito pode ser escolhido de 9 maneiras, pois ele não
pode ser igual a 0. O segundo dígito pode ser escolhido de 9 maneiras, pois não pode ser igual ao primeiro dígito. O terceiro dígito pode ser escolhido de 8 maneiras, pois não pode ser igual nem ao primeiro
nem ao segundo dígito.
Assim, temos: 9 . 9 . 8 = 648 números com algarismos distintos.
Fatorial de um número natural
Dado um número natural n, definimos o fatorial de n (indicado por n!)
por meio das relações:
0! = 1
1! = 1
n! = n . (n - 1) . (v - 2) . ... . 3 . 2 .1
Assim, temos, por exemplo:
2! = 2 . 1 = 2
3! = 3 . 2 . 1 = 6
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
