Definição de Função

Considere os exemplos a seguir:

Exemplo 1:

Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A estão alguns números inteiros e em B, outros. Podemos associar cada elemento de A ao seu triplo em B.

Note que: 

• todos os elementos de A têm correspondente em B; 

• a cada elemento de A corresponde um único elemento de B. 

Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula y = 3x.

Exemplo 2:

Dados A = {0; 4} e B = {2; 3; 5}, relacionamos A e B da seguinte forma: cada elemento de A é menor do que um elemento de B. 

Nesse caso, não temos uma função de A em B, pois ao elemento 0 de A correspondem três elementos de B (2, 3 e 5) e não apenas um único elemento de B.

Exemplo 3:

Dados A = {-4; -2; 0; 2; 4} e B = {0; 2; 4; 6; 8}, associamos os elementos de A aos elementos de igual valor em B. Observe que há elementos em A (os números -4 e -2) que não têm correspondente em B. 

Nesse caso, não temos uma função de A em B. 

Exemplo 7:

Dados A = {-2; -1; 0; 1; 2} e B = {0; 1; 4; 8; 16} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula y = x⁴, com x  A e y  B. 

Note que: 

• todos os elementos de A têm correspondente em B;

• a cada elemento de A corresponde um único elemento de B. 

Assim, a correspondência expressa pela fórmula y = x⁴ é uma função de A em B.

Definição de função

Uma relação f  de A em B (f: A → B), é uma função se, e somente se, para todo x ∈ A, existe um único correspondente y ∈ B.

Lista 1

Domínio, contradomínio 

e conjunto imagem

Quando relacionamos duas variáveis por meio de uma função, devemos atentar aos valores que elas podem assumir nesta função. Vejamos outro exemplo de diagrama de flechas, que representa f:A→B, f(x) = x – 2

O conjunto A, formado pelos valores que a variável x pode assumir, chama-se domínio de f, D(f); o conjunto B, formado por todos os valores de y, é chamado de contradomínio de f, CD(f); e o conjunto de todos os elementos y ∈ B para os quais existe, pelo menos, um elemento x ∈ A / f(x) = y é chamado conjunto imagem de f, Im(f).
Assim, indicamos:

D(f) = {2; 3; 4; 5} (Domínio)

CD(f) = {0; 1; 2; 3; 4} (Contradomínio)

Im(f) = {0; 1; 2; 3} (Imagem)

Do diagrama acima e, usando a nomenclatura f(x) = y, podemos escrever:

f(2) = 0

f(3) = 1

f(4) = 2

f(5) = 3

Esquematizando

Exemplo 1
Dada a função f:A→B, f(x) = x – 7, calcule:
a) f(4) =
b) f(7) =
c) f(13) =
d) f(20) =
Resolução:
a) f(4) = 4 - 7 = -3
b) f(7) = 7 - 7 = 0
c) f(13) = 13 - 7 = 6
d) f(20) = 20 - 7 = 13

Exemplo 2
a) Escreva a expressão algébrica que representa a seguinte situação: A capacidade y de um galão de água de 20 litros, completamente cheio, que está sendo esvaziado por copos de 100 ml cada um.
b) Quantos copos serão necessários para que o galão esvazie-se totalmente?
Resolução:
a) 
b) Quando o galão estiver totalmente vazio, o volume (y) será nulo. Então, fazendo y = 0, temos:
20000-100x = 0
100x = 20000
x = 200
R: Serão necessários 200 copos.

Lista 2