Considere os exemplos a seguir:

Exemplo 1:

Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A estão alguns números inteiros e em B, outros. Podemos associar cada elemento de A ao seu triplo em B.

Note que: 

• todos os elementos de A têm correspondente em B; 

• a cada elemento de A corresponde um único elemento de B. 

Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula y = 3x.

Exemplo 2:

Dados A = {0; 4} e B = {2; 3; 5}, relacionamos A e B da seguinte forma: cada elemento de A é menor do que um elemento de B. 

Nesse caso, não temos uma função de A em B, pois ao elemento 0 de A correspondem três elementos de B (2, 3 e 5) e não apenas um único elemento de B.

Exemplo 3:

Dados A = {-4; -2; 0; 2; 4} e B = {0; 2; 4; 6; 8}, associamos os elementos de A aos elementos de igual valor em B. Observe que há elementos em A (os números -4 e -2) que não têm correspondente em B. 

Nesse caso, não temos uma função de A em B. 

Exemplo 7:

Dados A = {-2; -1; 0; 1; 2} e B = {0; 1; 4; 8; 16} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula y = x⁴, com x  A e y  B. 

Note que: 

• todos os elementos de A têm correspondente em B;

• a cada elemento de A corresponde um único elemento de B. 

Assim, a correspondência expressa pela fórmula y = x⁴ é uma função de A em B.

Definição de função

Uma relação f  de A em B (f: A → B), é uma função se, e somente se, para todo x ∈ A, existe um único correspondente y ∈ B.

Lista 1

Domínio, contradomínio 

e conjunto imagem

Quando relacionamos duas variáveis por meio de uma função, devemos atentar aos valores que elas podem assumir nesta função. Vejamos outro exemplo de diagrama de flechas, que representa f:A→B, f(x) = x – 2

O conjunto A, formado pelos valores que a variável x pode assumir, chama-se domínio de f, D(f); o conjunto B, formado por todos os valores de y, é chamado de contradomínio de f, CD(f); e o conjunto de todos os elementos y ∈ B para os quais existe, pelo menos, um elemento x ∈ A / f(x) = y é chamado conjunto imagem de f, Im(f).
Assim, indicamos:

D(f) = {2; 3; 4; 5} (Domínio)

CD(f) = {0; 1; 2; 3; 4} (Contradomínio)

Im(f) = {0; 1; 2; 3} (Imagem)

Do diagrama acima e, usando a nomenclatura f(x) = y, podemos escrever:

f(2) = 0

f(3) = 1

f(4) = 2

f(5) = 3

Esquematizando

Exemplo 1
Dada a função f:A→B, f(x) = x – 7, calcule:
a) f(4) =
b) f(7) =
c) f(13) =
d) f(20) =
Resolução:
a) f(4) = 4 - 7 = -3
b) f(7) = 7 - 7 = 0
c) f(13) = 13 - 7 = 6
d) f(20) = 20 - 7 = 13

Exemplo 2
a) Escreva a expressão algébrica que representa a seguinte situação: A capacidade y de um galão de água de 20 litros, completamente cheio, que está sendo esvaziado por copos de 100 ml cada um.
b) Quantos copos serão necessários para que o galão esvazie-se totalmente?
Resolução:
a) 
b) Quando o galão estiver totalmente vazio, o volume (y) será nulo. Então, fazendo y = 0, temos:
20000-100x = 0
100x = 20000
x = 200
R: Serão necessários 200 copos.

Lista 2

01- Uma avaliação contendo duas questões foi aplicada a 200 alunos. Sabe-se que:

• 5050 alunos acertaram as duas questões;

• 100100 alunos acertaram a primeira questão;

• 9090 alunos acertaram a segunda questão.

Quantos alunos erraram as duas questões?

a) 60

b) 40

c) 50

d) 10

e) 30

02- (CRM-ES 2016) – Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 se informavam pelo site A; 150 por meio do site B; 20 buscavam se informar por meio dos dois sites, A e B; e 110 não se informavam por nenhum desses dois sites. Desse modo, é correto afirmar que o número de pessoas consultadas nessa pesquisa foi de:

a) 380

b) 360

c) 340

d) 270

e) 230

03- (PUC-MG) – Se A = ]-2;3] e B = [0;5], então os números inteiros que estão em B - A são:

a) -1 e 0

b) 1 e 0

c) 4 e 5

d) 3, 4 e 5

e) 0, 1, 2 e 3

04- Dados os conjuntos C = {15, 25, 30, 35} e D = {15, 25, 40, 50}, obtenha o n(AUB):

a) 5

b) 6

c) 7

d) 3

e) 4

05- (UFPA) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado:

• 23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;

• 23 alunos torcem pelo Clube do Remo;

• 15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama;

• 6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;

• 5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo.

Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, A ∩ B = Ø. Concluímos que o número n de alunos dessa turma é:

a) 49

b) 50

c) 47

d) 45

e) 46

06- (Unifap) O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças

a) 40%

b) 50%

c) 47%

d) 45%

e) 46%

07- (UFMG) - Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados dessa pesquisa foram:

• 82% do total de entrevistados gostam de chocolate;

• 78% do total de entrevistados gostam de pizza; e

• 75% do total de entrevistados gostam de batata frita.

Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de:

a) 25%

b) 30%

c) 35%

d) 40%

e) n.d.a.

08- (UFSE) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequência:

a) venceu A, com 120 votos

b) venceu A, com 140 votos

c) A e B empataram em primeiro lugar

d) venceu B, com 140 votos

e) venceu B, com 180 votos

09- Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7} e C = {4, 5, 6, 8}, descubra o resultado de:

(A – C) ∩ (B – C).

a) {0, 1, 2, 3}

b) Æ

c) {4, 5, 6}

d) {4, 5, 6, 7}

e) n.d.a.

10- (PUC-Rio-2009) - Em um colégio, de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam de sorvete de creme e 60 gostam dos dois sabores. Quantos alunos não gostam de nenhum dos dois sabores?

a) 0

b) 10

c) 20

d) 30

e) 40

11- Em uma escola foi realizada uma pesquisa sobre o gosto musical dos alunos. Após as entrevistas, os resultados foram os seguintes:

• 416 alunos disseram que gostam de Rock.

• 320 alunos optaram por Pop.

• 116 alunos afirmaram que gostam de MPB.

• 93 alunos gostam de Rock e Pop.

• 52 alunos gostam de Pop e MPB.

• Nenhum entrevistado gosta de “Rock e MPB”.

• Nenhum entrevistado gosta dos três gêneros.

Quantos foram os alunos entrevistados?

a) 643

b) 997

c) 614

d) 945

e) 707

12- (PUC/Campinas-SP) – Numa comunidade constituída de 18001800 pessoas, há três programas de TV favoritos: esportes (E), novelas (N) e humorismo (H). A tabela a seguir indica quantas pessoas assistem a esses programas:

Por meio desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três tipos de programas é:

a) 200

b) os dados do problema estão incorretos

c) 900

d) 100

e) n.d.a.

13- (ENEM) - No dia 17 de Maio próximo passado, houve uma campanha de doação de sangue em uma Universidade. Sabemos que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Uma pesquisa feita com um grupo de 100 alunos da Universidade constatou que 42 deles têm o antígeno A, 36 têm o antígeno B e 12 o antígeno AB. Sendo assim, podemos afirmar que o número de alunos cujo sangue tem o antígeno O é:

a) 20 alunos

b) 26 alunos

c) 34 alunos

d) 35 alunos

e) 36 alunos

14- O Departamento de Economia de uma determinada instituição de ensino resolveu fazer um estudo sobre as dificuldades dos seus alunos matriculados no primeiro semestre, visando o oferecimento de monitores para auxiliar na resolução de exercícios. Foi feita uma pesquisa com 800 alunos e foram obtidos os seguintes dados:

• Disciplina A: 490 alunos apontaram dificuldades.

• Disciplina B: 320 alunos apontaram dificuldades.

• Disciplina C: 160 alunos apontaram dificuldades.

• Disciplinas A e C: 90 alunos apontaram dificuldades.

• Disciplinas A e B: 22 alunos apontaram dificuldades.

• Disciplinas B e C: 78 alunos apontaram dificuldades.

• Todos os alunos apontaram dificuldades em pelo menos uma dessas disciplinas.

Determinar a quantidade de alunos com dificuldades nas três disciplinas simultaneamente.

a) 22

b) 20

c) 30

d) 18

e) 28

15- (PUC) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B. Sabendo que 10 dessas pessoas não usam o produto B e que 2 dessas pessoas não usam o produto A, qual é o número de pessoas que utilizam os produtos A e B?

a) 0

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

16- (Fatec-SP) O conjunto A tem 20 elementos, AÇB tem 12 elementos e AÈB tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto B é:

a) 28

b) 36

c) 40

d) 48

e) 52

RESPOSTAS:

01) A     02) C      03) C      04) B

05) B      06) A     07) C      08) E

09) B      10) B      11) E      12) A

13) C      14) D     15) C      16) E