Resolução de equação pelo método de completar quadrados

Interessante: Essa é uma estratégia utilizada há muito tempo, quando não existia a fórmula de Bhaskara. Esse método foi criado pelo grande matemático al-Khwarizmi.

Para exemplificar, vamos solucionar a equação x² + 6x – 16 = 0

1º Passo: Isole o termo independente.

x² + 6x = 16

2º Passo: calcule o quadrado da metade do número que está multiplicado pelo termo “x”.

6:2 = 3 e 3² = 9.

3º Passo: some esse valor em ambos os lados da equação.

x² + 6x + 9 = 16 + 9

x² + 6x + 9 = 25

4º Passo: dessa forma, obtemos um trinômio do quadrado perfeito no primeiro membro da igualdade, o que possibilita resolver a equação por fatoração.

x² + 6x + 9 = 25

(x + 3)² = 25

x + 3 =

x + 3 = –5   ou   x + 3 = 5

x = –5 – 3           x = 5 – 3

x = –8                 x = 2

S = {-8; 2}

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Resolução de equação do 2º grau por fatoração

Um dos métodos utilizados para a resolução de equações do 2º grau completas é a fatoração. Por meio desse recurso, conseguimos obter suas raízes. Vejamos alguns exemplos:

01- Resolver a equação x² + 18x + 81 = 100, sendo U = R.

01- Resolver a equação 4x² – 12x + 9 = 36, sendo U =R.

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01- Utilize a fatoração e a mudança de incógnita para resolver cada equação, sendo U = R.

a) x² + 20x + 100 = 25

b) x² – 2x + 1 = 121

c) 9x² + 12x + 4 = 16

d) 4x² + 28x + 49 = 1

02- Utilize o método de completar quadrados para encontrar as raízes das equações do 2.o grau. Considere U = R.

a) x² + 2x – 3 = 0

b) x² + 8x – 20 = 0

c) x² + 12x + 27 = 0

d) 2x² + 16x + 14 = 0

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Fatorações:
• Quadrado da soma de dois termos
• Quadrado da diferença de dois termos
• Produto da soma pela diferença de dois termos
• Produto da soma de dois termos distintos
• Quadrado da soma de três termos
• Cubo da soma de dois termos
• Cubo da diferença de dois termos
• Soma de cubos
• Diferença de cubos

EXERCÍCIOS

01- Relacione a primeira coluna com a segunda.

02- Identifique os casos de fatoração utilizados nos itens de I a VII, no exercício anterior.

03- Desenvolva os produtos: 
a) (x + 5)² = 
b) (x + 3).(x – 4) =
c) (x + 2y + 3)² = 

d) (7 – z).(7² + 7z + z²) =

e) (y + 2)³ =

f) (a + 8b).(a² – 8ab + 8²b²) =

g) 2x (xy + 5y – 9) =

h) (y – 6)² =

i) (5x + 4).(2y – 3) =

j) (x – 13)³ =

k) (x + 4).(x – 4) = 

04- Relacione cada polinômio da 1ª coluna com a sua forma fatorada da 2ª coluna:

05- Determine a diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos. Dê o resultado na forma fatorada.

a) 3xy(x + y)   b) 3x(x + y)     c) 3y(x + y)

d) 3x + 3y       e) xy(x + y)

06- Determine o valor de a e b, sendo que:

x³ + 1 = (x + 1) (x² + ax + b).

RESPOSTAS:

01) IV, VII, V, III, VI, I, II

02) II, IV, I, VII, V, III, VI

03) a) x² + 10x +25    b) x² – x – 12

c) x² + 4y² + 9 + 4xy + 6x + 12y

d) 7³ – z³                    e) y³ + 6y² + 12y + 8

f) a³ + 8³b³                 g) 2x²y + 10xy – 18x

h) y² – 12y + 36         i) 10xy – 15x + 8y – 12

j) x³ – 39x³ + 507x² – 2 197

k) x² – 16

04) a, i, b, d, e, h, f, g, c.

05) a                06) a= –1 e b= 1